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人們必須利用虛時間，以避免在進行費因曼對歷史求和的技術上的困難。也就是為了計算的目的人們必須用虛數而不是用實數來測量時間。這對時空有一有趣的效應：時間和空間的區別完全消失。事件具有虛值時間坐標的時空被稱為歐幾里德型的，它是采用建立了二維面幾何的希臘人歐幾里德的名字命名的。我們現在稱之為歐幾里德時空的東西除了是四維而不是二維以外，其余的和它非常相似。在歐幾里德時空中，時間方向和空間方向沒有不同之處。另一方面，在通常用實的時間坐標來標記事件的實的時空里，人們很容易區別這兩種方向——在光錐中的任何點是時間方向，之外為空間方向。就日常的量子力學而言，在任何情況下，我們利用虛的時間和歐幾里德時空可以認為僅僅是一個計算實時空的答案的數學手段（或技巧）。

我們相信，作為任何終極理論的一部分而不可或缺的第二個特征是愛因斯坦的思想，即引力場是由彎曲的時空來代表：粒子在彎曲空間中試圖沿著最接近于直線的某種途徑走，但因為時空不是平坦的。它們的途徑看起來似乎被引力場折彎了。當我們用費因曼的路徑求和方法去處理愛因斯坦的引力觀點時，和粒子的歷史相類似的東西則是代表整個宇宙歷史的完整的彎曲的時空。為了避免實際進行歷史求和的技術困難，這些彎曲的時空必須采用歐幾里德型的。也就是，時間是虛的并和空間的方向不可區分。為了計算找到具有一定性質，例如在每一點和每一方向上看起來都一樣的實的時空的概率，人們將和所有具有這性質的歷史相關聯的波迭加起來即可。

在廣義相對論的經典理論中，有許多不同的可能彎曲的時空，每一個對應于宇宙的不同的初始態。如果我們知道宇宙的初始態，我們就會知道它的整個歷史。類似地，在量子引力論中，存在許多不同的可能的宇宙量子態。如果我們知道在歷史求和中的歐幾里德彎曲時空在早先時刻的行為，我們就會知道宇宙的量子態。

在以實的時空為基礎的經典引力論中，宇宙可能的行為只有兩種方式：或者它已存在了無限長時間，或者它在有限的過去的某一時刻的奇點上有一個開端。而在量子引力論中，還存在第三種可能性。因為人們是用歐幾里德時空，在這兒時間方向和空間方向是同等的，所以時空只有有限的尺度，卻沒有奇點作為它的邊界或邊緣是可能的。時空就像是地球的表面，只不過多了兩維。地球的表面積是有限的，但它沒有邊界或邊緣：如果你朝著落日的方向駕船，你不會掉到邊緣外面或陷入奇點中去。（因為我曾經環球旅行過，所以知道！）

如果歐幾里德時空延伸到無限的虛時間，或者在一個虛時間奇點處開始，我們就有了和在經典理論中指定宇宙初態的同樣問題，即上帝可以知道宇宙如何開始，但是我們提不出任何特別原因，認為它應以這種而不是那種方式開始。另一方面，量子引力論開辟了另一種新的可能性，在這兒時空沒有邊界，所以沒有必要指定邊界上的行為。這兒就沒有使科學定律失效的奇點，也就是不存在在該處必須祈求上帝或某些新的定律給空間一時間設定邊界條件的時空邊緣。人們可以說：“宇宙的邊界條件是它沒有邊界。”宇宙是完全自足的，而不被任何外在于它的東西所影響。它既不被創生，也不被消滅。它就是存在。

我正是在早先提到的那次梵帝岡會議上第一次提出，時間和空間可能會共同形成一個在尺度上有限而沒有任何邊界或邊緣的面。然而我的論文數學氣息太濃，所以文章中包含的上帝在創造宇宙的作用的含義在當時沒有被普遍看出來（對我也正是如此）。在梵蒂岡會議期間，我不知道如何用“無邊界”思想去預言宇宙。然而，第二年夏天我在加州大學的圣他巴巴拉分校渡過。我的一位朋友兼合作者詹姆·哈特爾在那里，他和我共同得出了如果時空沒有邊界時宇宙應滿足的條件。回到劍橋后，我和我的兩個研究生朱麗安·拉卻爾和約納遜·哈里威爾繼續從事這項工作。

我要著重說明，時空是有限而無界的思想僅僅只是一個設想，它不能從其他原理導出。正如任何其他的科學理論，它原先可以是出于美學或形而上學的原因而被提出，但是對它的真正檢驗在于它所給出的預言是否與觀測相一致。然而，在量子引力的情況下，由于以下兩個原因這很難確定。首先，正如將在十一章所要解釋的，雖然我們對能將廣義相對論和量子力學結合在一起的理論所應具有的特征，已經知道得相當多，但我們還不能準確地認定這樣一個理論。其次，任何詳盡描述整個宇宙的模型在數學上都過于復雜，以至于我們不能通過計算做出準確的預言。所以，人們不得不做簡化的假設和近似——并且甚至這樣，要從中引出預言仍是令人生畏的問題。

在對歷史求和中的每一個歷史不只描述時空，而且描述在其中的任何東西——包括像能觀察宇宙歷史的人類那樣復雜的生物。這可對人擇原理提供另一個支持，因為如果任何歷史都是可能的，就可以用人擇原理去解釋為何我們發現宇宙是現今這樣子。盡管我們對自己并不生存于其中的其他歷史究竟有什么意義還不清楚。然而，如果利用對歷史求和可以顯示，我們的宇宙不只是一個可能的，而且是最有可能的歷史，則這個量子引力論的觀點就會令人滿意得多。為此，我們必須對所有可能的沒有邊界的歐幾里德時空進行歷史求和。

人們從“無邊界”假定得知，宇宙沿著大多數歷史的機會是可以忽略不計的，但是有一族特別的歷史比其他的歷史有更多機會。這些歷史可以描繪得像是地球的表面。在那兒與北極的距離代表虛的時間，并且離北極等距離的圓周長代表宇宙的空間尺度。宇宙是從作為單獨一點的北極開始的。當你一直往南走去，離開北極等距離的緯度圈變大，這是和宇宙隨虛時間的膨脹相對應（圖）。宇宙在赤道處達到最大的尺度，并且隨著虛時間的繼續增加而收縮，最后在南極收縮成一點。盡管宇宙在北南二極的尺度為零，這些點不是奇點，并不比地球上的北南二極更奇異。科學定律在這兒有效，正如同它仍在地球上的北南二極有效一樣。

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然而，在實的時間里宇宙的歷史顯得非常不一樣。大約在100或200億年以前，它有一個最小的尺度，這相當于在虛時間里的最大的半徑。在后來的實時間里，宇宙就像由林德設想的紊亂暴漲模型那樣地膨脹（但是現在人們不必假定宇宙是從某一類正確的狀態產生出來）。宇宙會膨脹到一個非常大的尺度，并最終重新坍縮成為在實時間里看起來像是奇點的一個東西。這樣，在某種意義上說，即使我們躲開黑洞，仍然是注定要毀滅的。只有當我們按照虛時間來描繪宇宙時才不會有奇點。

如果宇宙確實處在這樣的一個量子態里，在虛時間里宇宙就沒有奇點。所以，我近期的工作似乎完全使我早期研究奇點的工作成果付之東流。但是正如上面所指出的，奇點定理的真正重要性在于，它們指出引力場必然會強到不能無視量子引力效應的程度。這接著導致也許在虛時間里宇宙的尺度有限但沒有邊界或奇點的觀念。然而，當人們回到我們生活于其中的實時間，那兒仍會出現奇點。陷進黑洞那位可憐的航天員的結局仍然是極可悲的；只有當他在虛時間里生活，才不會遭遇到奇點。

上述這些也許暗示所謂的虛時間是真正的實時間，而我們叫做實時間的東西恰恰是子虛烏有的空想的產物。在實時間中，宇宙的開端和終結都是奇點。這奇點構成了科學定律在那兒不成立的時空邊界。但是，在虛時間里不存在奇點或邊界。所以，很可能我們稱之為虛時間的才真正是更基本的觀念，而我們稱作實時間的反而是我們臆造的，它有助于我們描述宇宙的模樣。但是，按照我在第一章所描述的方法，科學理論僅僅是我們用以描述自己所觀察的數學模型，它只存在于我們的頭腦中。所以去問諸如這樣的問題是毫無意義的：“實”的或“虛”的時間，哪一個是實在的？這僅僅是哪一個描述更為有用的問題。

人們還可以利用對歷史求和以及無邊界假設去發現宇宙的哪些性質可能發生。例如，人們可以計算，當宇宙具有現在密度的某一時刻，在所有方向上以幾乎同等速率膨脹的概率。在迄今已被考察的簡化的模型中，發現這個概率是高的；也就是，無邊界假設導致一個預言，即宇宙現在在每一方向的膨脹率幾乎相同是極其可能的。這與微波背景輻射的觀測相一致，它指出在任何方向上具有幾乎完全同樣的強度。如果宇宙在某些方向比其他方向膨脹得更快，在那些方向輻射的強度就會被一個附加的紅移所減小。

人們正在研究無邊界條件的進一步預言。一個特別有趣的問題是，早期字宙中物質密度對其平均值的小幅度偏離，這些偏離首先引起星系，然后是恒星，最后是我們自身的形成。不確定性原理意味著，早期宇宙不可能是完全均勻的，因為粒子的位置和速度必定有一些不確定性或起伏。利用無邊界條件，我們發現，宇宙事實上必須是從僅僅由不確定性原理允許的最小的可能的非均勻性開始的。然后，正如在暴脹模型中預言的一樣，宇宙經歷了一段快速膨脹時期。