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第十一章 BSD猜想（2 / 3）

其解法是先分類(lèi)，典型的數(shù)學(xué)方法是同余并藉此得同余類(lèi)，即被一個(gè)數(shù)除之后的余數(shù)。

但是無(wú)窮多個(gè)數(shù)不可能每個(gè)都是需要的，數(shù)學(xué)家們便選擇了質(zhì)數(shù)，所以從某種程度上說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題還與黎曼猜想zeta函數(shù)有關(guān)。

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間大量的計(jì)算與資料收集，貝赫和斯維納通-戴爾觀察出一些規(guī)律與模式，因而提出bsd猜想：設(shè)e是定義在代數(shù)數(shù)域k上的橢圓曲線，e(k)是e上的有理點(diǎn)的集合，已經(jīng)知道e(k)是有限生成交換群。記l(s，e)是e的hasse-weill函數(shù)。則e(k)的秩恰好等于l(e，s)在s=1處零點(diǎn)的階，并且后者的taylor展開(kāi)的第一個(gè)非零系數(shù)可以由曲線的代數(shù)性質(zhì)精確表出。

前半部分通常稱為弱bsd猜想，后半部分則是bsd猜想分圓域的類(lèi)數(shù)公式的推廣。

目前，數(shù)學(xué)家們僅僅證明了rank=0和1的弱bsd猜想成立，對(duì)于rank≥2部分的強(qiáng)bsd猜想，依舊無(wú)能為力。

此前龐學(xué)林也是沿著格羅斯、科茨走的那條路線，嘗試在rank=0和1的基礎(chǔ)上，推出rank≥2的bsd猜想，卻發(fā)現(xiàn)漸漸走進(jìn)了死胡同。

最近半年內(nèi)，他始終沒(méi)有任何進(jìn)展。

因此，他非常好奇，系統(tǒng)給出的證明過(guò)程，到底采用了什么思路。

龐學(xué)林打開(kāi)bsd猜想證明論文，看了起來(lái)。

bsd猜想的證明一共有六十多頁(yè)，對(duì)對(duì)一個(gè)千禧難題級(jí)別的猜想而言，顯得過(guò)于精簡(jiǎn)了一些。

不過(guò)這并不重要，當(dāng)年佩雷爾曼證明龐加萊猜想的時(shí)候，才用了三十多頁(yè)，因?yàn)檫^(guò)程太過(guò)簡(jiǎn)略，好多人都看不懂，在數(shù)學(xué)界的強(qiáng)烈要求下，佩雷爾曼勉強(qiáng)又補(bǔ)充了兩篇文章，之后便再也不肯多給了。

但這并不妨礙佩雷爾曼的偉大。

因此，論文的長(zhǎng)短并不重要，關(guān)鍵要看論文的質(zhì)量。

龐學(xué)林并沒(méi)有從開(kāi)頭開(kāi)始細(xì)讀，而是先粗略瀏覽。

粗略瀏覽，有助于他從整體上了解bsd猜想的證明思路。

不過(guò)很快，龐學(xué)林的眉頭便皺了起來(lái)。

論文的開(kāi)頭，便給出了一個(gè)與當(dāng)前數(shù)學(xué)界截然不同的思路。

論文的第一部分，寫(xiě)得是關(guān)于同余數(shù)問(wèn)題的證明，即存在無(wú)窮多個(gè)素因子個(gè)數(shù)為任何指定正整數(shù)的同余數(shù)。

然后，推導(dǎo)出bsd對(duì)這樣的e_d成立：d是某個(gè)8k+5型素?cái)?shù)和若干8k+1型素?cái)?shù)的乘積，只要\bbbq(\sqrt{-d})的類(lèi)群的4倍映射是單的。

這就有意思了。

雖然當(dāng)前數(shù)學(xué)界，已經(jīng)有人嘗試通過(guò)同余數(shù)問(wèn)題去證明bsd猜想。

但這條路難度太大，還處于萌發(fā)狀態(tài)，目前國(guó)際數(shù)學(xué)界并沒(méi)有出現(xiàn)太多的成果。

這篇論文的出現(xiàn)，說(shuō)明當(dāng)前流行的bsd猜想證明方法，最終都會(huì)走向死胡同。

通過(guò)同余數(shù)問(wèn)題證明bsd猜想，才是正確的思路。

龐學(xué)林凝神屏氣，繼續(xù)看下去。

……

給定素?cái)?shù)p，(1)p\equiv3(\mod8)：p不是同余數(shù)但2p是同余數(shù)；(2)p\equiv5(\mod8)：p是同余數(shù)；(3)p\equiv7(\mod8)：p和2p都是同余數(shù)。

(弱bsd猜想)bsd猜想對(duì)e_d成立。特別的，r_d>0當(dāng)且僅當(dāng)l(1，e_d)=0。

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